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 Sujet du message: Mandelbulbe
MessagePosté: 31 Jan 2010, 13:44 
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Mandelbulbe, l'ensemble de Mandelbrot en 3D (ou presque):

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Quelques vues plongeantes:

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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 31 Jan 2010, 16:30 
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Localisation: quelque part dans l'axe du mal
incroyable !
si j'ai bien compris c'est une fractale en 3D ?
c'est magnifique.

ça me fait beaucoup penser à gaudi

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casa batllo
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sagrada familia
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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 31 Jan 2010, 17:03 
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:-? La première image m'avait fait penser aux crochets et aux ventouses d'un ténia...ou aussi aux fruits(?) de l'eucalyptus....
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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 31 Jan 2010, 18:21 
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Localisation: quelque part dans l'axe du mal
qui me font penser à des enluminures médiévales

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... nogram.jpg
joli aussi n'est-il pas ?

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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 01 Fév 2010, 16:16 
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cigale a écrit:
si j'ai bien compris c'est une fractale en 3D ?

Vi, Mandelbulb est un objet fractal. Y s'agit d'une version "tridimensionelle" de l'ensemble de Mandelbrot (ce dernier est un des plus simples "systemes dynamiques non-lineaires" ayant pignon sur rue... c'est surtout aussi l'un des rares dont l'exploration a pu etre poussee assez loin pour que l'on puisse dire sans trop mentir qu'on y pige plus ou moins quelque chose). Mandelbulb est un veritable petit exploit infographique que la construction d'un pseudo-produit a rendu possible. En effet, lorsqu'on essaie d'etendre les nombres complexes - c'est avec eux que l'on construit et que l'on genere les objets fractals dont il est question ici - en dimension 3, leur produit se casse mechamment la gueule. Il a donc fallu construire un bidule, aka un pseudo-produit, qui permette d'etendre en dimension 3 l'algorithme generant l'ensemble de Mandelbrot. C'est pourquoi j'ai ecrit tridimensionnel entre guillemets dans la deuxieme phrase de ce post et (ou presque) a cote de 3D dans mon precedent post. Si cela t'interesse, tu trouveras quelques explications sur le pourquoi du comment dans le petit e-papier (en francais) de Leys intitule comme il se doit "Mandelbulb", publie sur l'excellent site de vulgarisation du CNRS "Images des mathematiques: la recherche mathematique en mots et en images".

L'ensemble de Mandelbrot et le Mandelbulb sont evidemment des machins extremement interessants tant mathematiquement (cf. les systemes dynamiques et tout l'tintoin) [la physique et la biologie n'ignorent pas non plus la "fractalite"] que graphiquement (puisqu'ils stimulent l'ingeniosite & l'imagination des informaticiens et des infographistes, en herbe ou non). Ces machins reussissent meme a en foutre plein les yeux de ceux qui s'y attardent (j'en suis). Cependant, l'ensemble de Mandelbrot et le Mandelbulb sont des objets simples au sens de la complexite K de Chaitin-Kolmogorov* (ou complexite aleatoire) et moyennement profonds au sens de la profondeur P de Bennett* (ou (bonne candidate au role de) complexite organisee): du point de vue de la calculabilite, ils se situent donc quelque part entre un cristal et les decimales de π. Un etre vivant - quoi que cela veuille dire - a, quant a lui, probablement une assez grande K et sans doute une tres grande P. A ce propos - petite parenthese en passant -, le theoreme de croissance lente affirme, comme son nom l'indique, que l'augmentation de P ne peut etre que tres lente, cad que la probabilite d'apparition spontanee d'un objet ayant une grande P au cours d'un court processus dynamique est extremement faible. Ainsi, posseder une grande P signifie etre le probable fruit d'un long, voire d'un tres long, processus computationnel. En d'autres termes: un objet profond (= avec une grande P) ne peut etre que le fruit d'un long processus evolutif. Un truc que les IDistes de tous poils n'ont toujours pas pige (si c'etait le seul, ca se saurait, isn'it).

*: en resumant drastiquement - au moins autant que ce qui a ete fait tout au long de ce post -, si O est un objet, la complexite K de Chaitin-Kolmogorov est K(O) = {longueur du plus court programme qui engendre O} = {incompressibilite d'O} et sa profondeur P de Bennett est P(O) = {temps de calcul du programme minimal engendrant O}.

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(De la complexite du pubis fractal)


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 10 Juin 2010, 18:27 
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Apres le Mandelbulb, le Mandelbox. Maknifikeu!



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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 07 Oct 2010, 13:09 
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Bonjour Pyne Duythr, bonjour tout le monde,

Magnifiques fractales !

Je ne saisis ni pourquoi ni comment la dimension d'une fractale n'est pas entière. J'ai bien essayé de digérer le chapitre que Wikipedia consacre à la notion de dimension fractale (http://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale#D ... n_fractale). En vain...

Je prends l'exemple d'une ligne. La diagonale d'un carré. Une ligne a une dimension. Si je brise cette ligne n fois afin d'obtenir un zigzag très serré, j'obtiens soit une ligne brisée de dimension un, soit la surface du carré lorsque n est l'infini. Sa dimension est égale à un ou deux. Mais je n'obtiens pas une dimension intermédiaire qui n'est pas entière. Quelque chose m'échappe. Sûrement plus d'une chose. :wink:


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 08 Oct 2010, 19:45 
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Gaston a écrit:
Je ne saisis ni pourquoi ni comment la dimension d'une fractale n'est pas entière.

Elle peut ne pas l'etre. C'est pas pareil.

Citation:
Je prends l'exemple d'une ligne. La diagonale d'un carré. Une ligne a une dimension. Si je brise cette ligne n fois afin d'obtenir un zigzag très serré, j'obtiens soit une ligne brisée de dimension un, soit la surface du carré lorsque n est l'infini. Sa dimension est égale à un ou deux. Mais je n'obtiens pas une dimension intermédiaire qui n'est pas entière. Quelque chose m'échappe. Sûrement plus d'une chose. :wink:

Gaston, le pepin, c'est que tu superposes malgre toi la dimension topologique d'un objet et sa dimension de Hausdorff (parfois appellee - improprement - dimension fractale... on evitera ici de parler des autres types de dimension ayant pignon sur rue) lorsque cette superposition n'a pas (ou plus) lieu d'etre. Or, ceci n'est vrai (superposition legitime) que lorsque, par exemple, l'objet n'est pas fractal (l'exemple est bien choisi puisqu'on cause de fractales). La dimension topologique dimTop incarne en gros l'idee intuitive que l'on se fait de la dimension d'un objet: dimTop(TRUC) = {nombre minimal de parametres necessaires pour localiser un point sur TRUC}. On en avait deja cause ailleurs, si je ne m'abuse. dimTop est un entier non-gegatif (sauf pour l'ensemble vide Ø ou elle vaut -1) etendu (cela signifie que l'on inclut +ꝏ) - inferieur ou egal a la dimension de l'espace dans lequel l'objet est plonge - et est definie par recurrence sur la notion de recouvrement. La dimension de Hausdorff dimHaus, quant a elle, est une extension de dimTop: elle definit egalement la dimension d'un objet, mais elle le fait en tenant compte de la metrique dans laquelle ce dernier est englue: dimHaus(TRUC) = {?} (on la construira par la suite pour une classe reduite d'objets). dimHaus est un reel non-negatif etendu. Elle peut donc ne pas etre un entier. Ces deux notions de dimension - a l'apparence si eloignee - sont, d'une certaine maniere, etroitement liee, surtout lorsqu'entre en jeu la compacite (dit de maniere extremement simplifiee pour les besoins de la cause: la dimension topologique de BIDULE est le minimum des dimensions de Hausdorff de BIDULE pour toutes les metriques compatibles avec la topologie de BIDULE), et lorsque l'objet TRUC est suffisamment "lisse" - notion qu'il faudrait definir -, ces deux dimensions coincident. Si TRUC n'est pas tres "lisse", ou pas "lisse" du tout, alors dimTop et dimHaus peuvent etre differentes. Ainsi la sphere S² - aka la surface de la sphere traditionnelle dans l'environnement traditionnel - a dimTop = dimHaus = 2, alors que ta ligne brisee en zigzag coincee dans un carre n'a pas forcement la dimension qu'on pourrait lui preter au prime abord. T'inquiete, tout cela deviendra sans doute plus clair en construisant pas a pas la notion de dimension de Hausdorff (dans sa version simplifiee), extension de dimTop.

Une des clefs de la construction que je te propose est l'auto-similarite. On va en effet se restreindre a la classe des objets auto-similaires (et pas excessivement irreguliers). Sinon on ne s'en sortira pas en deux temps et trois mouvements. Reprenons ton carre C. dimTop(C) = 2. Divisons C en n parties semblables, en le decoupant horizontalement et verticalement en k segments, comme dans la figure ci-dessous:

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C est partage en exactement n = k² petits carres c semblables a C. Le rapport de similitude s entre C et c est:

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(on fait la racine dimTop(C)-ieme de n afin d'evaluer s le long d'une dimension) cad:

Image

Donc, on a tout betement la chaine d'egalites:

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Banal. Chose un peu plus interessante est la determination de dimTop lorsqu'on connait s et n. Reprenons ton carre C et faisons semblant de ne pas connaitre dimTop(C), cad qu'on veut "extraire" dimTop(C) de l'egalite:

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Pour ce faire, on va utiliser les logarithmes. Ces machins ont des proprietes assez remarquables: ils transforment par exemple les produits en somme, et vice et versa reciproquement. Et ici, on va aller tres vite tout en rendant implicites les precautions d'usage (comme dans tout ce post d'ailleurs). Puisqu'une puissance est un produit:

Image

qu'une racine est une puissance:

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et qu'une des proprietes des logarithme nous dit que:

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alors:

Image

Or:

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donc:

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CQFD, ou presque. En realite, dimHaus(C) = dimTop(C) = 2. En effet, dans le cas de ce carre C, avec l'auto-similarite choisie, les deux notions de dimension coincident: elles s'appliquent indistinctement a C pour le prix d'une seule. Ce n'est pas une coincidence (arf!): C est "lisse" (et tres reguliere). Maintenant on prend un truc moins "lisse", comme par exemple la tres classique courbe de von Koch K:

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qui ressemble a ton exemple. Tu verras que c'est pas la meme musique. Voyons de plus pres comment elle est construite (cad quel processus d'auto-similarite la genere (derriere, y'a la metrique dans laquelle est engluee K, mais ici on n'en dira mot... c'est de toute facon pas necessaire pour nos besoins). On part d'un segment de droite, puis on modifie recursivement chaque segment de droite selon les trois etapes suivantes: 1) diviser le segment de droite en trois segments de longueurs egales, 2) construire un triangle equilateral ayant pour base le segment median de l'etape 1), et 3) supprimer le segment de droite qui etait la base du triangle de l'etape 2). Comme ceci:

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Notons au passage que si l'on part d'un segment de longueur 1 et qu'on applique un premiere fois les trois etapes definies ci-dessus, la longueur de l'objet construit vaut maintenant 4/3. On recommence sur chacun des cotes de longueur 1/3, et on obtient une courbe de longueur (4/3)². On itere le processus. A la n-ieme iteration, la longueur de la courbe est (4/3)ⁿ. Bref. K est alors la limite (l'ensemble limite) des courbes ainsi obtenues recursivement. En nous appuyant sur la construction a peine decrite, faisons un petit calcul, comme on l'avait fait pour C ci-dessus, afin d'exhiber dimHaus(K). Or donc, recursivement, un segment est remplace par quattre segments. Donc, n = 4. Chacun de ces quattre segments a pour longueur le tiers de celle du segment dont ils sont issus. Donc s = 3. Puisque cela est vrai pour tout segment de ce processus recursif, cela sera vrai pour K dans son entier. On a donc:

Image

donc:

Image

Clairement: 2 > dimHaus(K) > dimTop(K) = 1 (dimTop(K) = 1 parce que c'est une courbe). La dimension topologique ne coincide plus ici avec la dimension de Hausdorff. En resume, avec des lunettes hausdorffiennes, K se comporte comme si elle etait "un peu plus grosse" qu'une courbe, mais "beaucoup moins grosse" qu'une surface (juste pour comparer (l'incomprable), le bord de l'ensemble de Mandelbrot a une dimHaus egale a 2 - ce resultat n'a ete demontre qu'en 1990 par Shishikura -, egale a la dimHaus de l'ensemble de Mandelbrot lui-meme). Tu trouveras sur le net d'autres tres interessantes proprietes de K (continuite mais differentiabilite nulle part, etc.), surtout lorsqu'elle est etendue au flocon de von Koch. Et puisqu'on y est, tu pourras consulter, just for fun, une liste (evidemment non-exaustive) de fractales classees par dimHaus proposee sur Wikipedia.

Je sais pas si mon blabla a pu t'eclaircir les idees - ou les assombrir irreversiblement. Tiens-moi au courant, si t'en as envie. J'espere seulement ne pas avoir commis trop de bourdes en ecrivant beaucoup trop vite ce post (un peu presse la, mais si j'l'ecrivais pas maintenant, j'l'aurais probablement plus jamais fait... j'me connais, arf!).


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 09 Oct 2010, 01:11 
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Salut Pyne Duythr,

Citation:
Je sais pas si mon blabla a pu t'eclaircir les idees - ou les assombrir irreversiblement. Tiens-moi au courant, si t'en as envie.

Bien sûr. Je vais d'abord relire tout ça très attentivement. Autant de fois qu'il le faudra. Je crois avoir déjà compris qu'il y a plus d'une notion de dimension, que la dimension topologique à laquelle je m'accrochais n'est plus suffisante lorsqu'il s'agit de décrire une fractale et que la dimension fractale dépend de la façon dont on construit une figure fractale. Il ne me reste plus qu'à comprendre les détails. :wink: En tous cas merci pour ta réponse et pour l'effort pédagogique. À Bientôt.


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 11 Oct 2010, 09:45 
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Bonjour Pyne Duythr, bonjour tout le monde,

Je me suis longuement penché sur ton message. Mon bagage en maths ne va pas au-delà du bac. Et mon bac ne date pas d'hier. La compréhension de ton explication n'a donc pas été immédiate. Euphémisme ! :wink: Certains passages ont demandé un gros effort. D'autres sont incompréhensibles. Je n'ai par exemple rien compris à tes histoires de métrique, de recouvrement, de topologie et de compacité exposées succintement dans ton introduction. Je suppose qu'elles ne sont pas nécessaires à ce niveau de la discussion, sinon tu les aurais sans aucun doute un tant soit peu développées. Mais tous comptes faits, je pense avoir compris à présent tous les passages mécaniques. Et la plupart des concepts. Une phrase reste cependant encore obscure.

Citation:
Image

(on fait la racine dimTop(C)-ieme de n afin d'evaluer s le long d'une dimension) cad:

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Que signifie faire la racine dimTop(C)-ième de n afin d'évaluer s le long d'une dimension ?

Question subsidiaire : comment as-tu fait pour écrire tes formules ? :D


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 11 Oct 2010, 11:57 
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Quand je pense que Pyne Duythr est garçon coiffeur à mi-temps ! Il bosse le soir comme un fou les mathématiques pour devenir esthéticien à temps plein. Vraiment du courage ce gars. Et on peut se demander si la sélection par les maths dans le domaine professionnel ne va pas un peu trop loin quand même ? ! Non ?

Moi aussi un jour je serai autiste :dingue2:

Z'avez remarqué les formules sont en braille aujourd'hui. Esthétique !


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 14 Oct 2010, 03:38 
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Quand on vous dit de bien réviser vos maths à l'école de coiffure, au lieu de vous peigner les poils des aisselles, c'est pas pour rien les enfants ! :D

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"Je veux qu'on me prenne pour un con car j'en suis un, qu'on me parle simplement pour que je capte bien car je suis idiot: si on me regarde et qu'on me parle sans égards, c'est déjà me considérer à peu près normal et pas uniquement comme un handicapé physique ou un déficient mental."


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 14 Oct 2010, 12:25 
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Gaston a écrit:
Je suppose qu[e [l]es histoires de métrique, de recouvrement, de topologie et de compacité exposées succintement dans ton introduction] ne sont pas nécessaires à ce niveau de la discussion, sinon tu les aurais sans aucun doute un tant soit peu développées.

Vi. C'etait en quelque sorte une liste de mots-clef pour un eventuel approfondissment par tripotage googlien (SSL), au cas ou ta curiosite se revelait etre insatiable. L'idee de base est celle sous-jacente a ton observation: "il y a plus d'une notion de dimension [parce que] la dimension topologique à laquelle je m'accrochais n'est plus suffisante lorsqu'il s'agit de décrire une fractale". En effet, la dimension topologique de la courbe K de von Koch est 1. En d'autres termes: K est topologiquement equivalente a une courbe. Cela signifie que, du point de vue topologique - point de vue ou l'on ne s'interesse qu'a l'aspect "voisinage", qui est la propriete topologique par excellence -, K et p.e. un segment de droite sont indistincts. "Topologiquement equivalent" signifie - tres informellement - que tu peux passer du premier objet au deuxieme de facon continue et sans dechirures (cf. notion d'homeomorphisme). Et vice et versa reciproquement. Si maintenant tu t'interesses en gros a l'aspect metrique - cad a la notion de mesure, de distance - et si ton objet est "lisse", alors dimTop = dimHaus. C'etait l'exemple du carre C. Mais si ton objet est p.e. une fractale, alors les notions de dimTop et de dimHaus deviennent en quelque sorte autonomes (la deuxieme generalisant la premiere) et, en general, dimTop ≠ dimHaus (dimHaus pouvant ne pas etre entiere). C'etait l'exemple de la courbe de von Koch, K.

Citation:
Que signifie faire la racine dimTop(C)-ième de n afin d'évaluer s le long d'une dimension ?

Faut pas chercher midi a quatorze heures, Gaston. :D C'est juste une autre maniere de parler de la fonction de "remplissage" qu'on a utilisee. Je m'apercois a present que j'ai sans doute ecrit un peu trop vite mon precedent post. Ce qui explique, je suppose, la presence de ta question. Pour rendre les choses peut-etre plus claires, j'aurais en effet du scinder l'idee de rapport en introduisant egalement l'idee de rapport d'homothetie puis appeler s ainsi, et ensuite appeler rapport de similitude le nombre n. C'eut ete peut-etre plus parlant dans l'association de l'intuition "visuelle" et du langage, donc plus immediat. Pas grave. Ca ne change rien a la substance de mes propos. On aurait de toute facon pu appeler respectivement "chevre" et "caillou" ces deux rapports, voire en omettre un par souci de concision (vu la taille du post, mon cul!) comme je l'avais fait, que ca n'aurait change que pouic. T'as tres bien compris le principe, Gaston. Et c'est l'essentiel. Cependant, dorenavant, on va utiliser la nouvelle terminologie afin de gagner en clarte: ce qu'on avait appele rapport de similitude s devient le rapport d'homothetie h, et ce qu'on n'avait pas appele (arf!) - mais qu'on avait ecrit n - sera le rapport de similitude s. Bref. Revenons a notre mouton fractal, donc a ta question.
Si tu etends un segment de droite en collant a une de ses extremites un segment de meme taille, tu obtiens un segment de droite de longueur double. Donc, pour obtenir un segment de longueur double d'un segment donne, t'as besoin de 2¹ segments originels. Si a partir d'un carre tu veux obtenir un carre deux fois plus grand, tu dois disposer de quattre carres identiques au carre originel, cad de 2² carres. Si tu veux faire la meme chose avec un cube, t'as besoin de huit copies du cube originel, cad de 2³ cubes. En resume, ici: i) le 2 est le facteur d'homothetie h, cad le facteur de dilatation de ton objet, ii) l'exposant du 2 (1 pour un segment, 2 pour le carre et 3 pour le cube) est la dimension de ton objet, cad dimTop et iii) lorsque tu construis l'objet "augmente", tu dois le faire "le long de ses dimensions" (1 pour un segment, 2 pour le carre et 3 pour le cube), tu dois en quelque sorte dilater dans toutes ses dimensions ou, dit d'une autre facon, tu dois accoller les copies - le nombre de copies est s - de l'objet originel dans toutes les dimensions qui le caracterisent afin d'obtenir l'objet "augmente". Le point iii) cristallise l'idee de "evaluer le long d'une dimension". C'est mal dit, j'en conviens, mais le coeur y est. En resumant le resume: pour doubler les objets segment, carre et cube, tu as besoin respectivement de 2¹ segments que tu colles le long d'une dimension, 2² carres dont deux seront colles le long de la premiere dimension et deux le long de la deuxieme dimension et 2³ cubes colles le long des trois dimensions. Bref. A present, on generalise un peu le processus pour en extraire la substantifique moelle: pour doubler un des trois objets a peine cites, t'as besoin de 2^d exemplaires de cet objet, ou d est la dimension de l'objet. Y'a beaucoup de redondances dans ce que je viens de t'ecrire, c'est evident, et je te prie de ne pas m'en tenir rigueur, mais c'est pour bien mettre en evidence l'idee fixe du savant CosinusHyperbolique. Arf! Revenons a ton ton carre C. On suppose que son cote est egal a 1. On va lui appliquer le processus que l'on vient de voir (et que l'on avait vu dans mon precedent post). On quadrille C avec k² petits carres c de cote egal a 1/k (comme on l'a vu, s = k², ou s = {nombre de petits carres c}). Alors, en te souvenant qu'on appelle a present rapport d'homothetie le nombre h et rapport de similitude le nombre s, on peut ecrire:

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Le rapport de similitude s est egal a k² (s mesure le nombre d'objets similaires a C - les petits carres c - remplissant C) et le facteur d'homothetie h est k (k mesure la dilatation qu'il faudrait appliquer a un c, donc au cote de c, pour obtenir C). En se souvenant que dimTop(C) = 2:

Image

ce qu'on avait deja vu et qui est somme toute banal. Tres banal. Mais cela nous sert a voir plus grand, poils aux dents. En effet, si au lieu d'un carre on avait pris un cube, on aurait alors sans se fatiguer:

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Banal aussi. Et pour un d-cube, cad un hypercube (euclidien) de dimension d:

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cad, plus ou moins comme on l'avait deja vu:

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ce qui veut dire que la dimension (Top et/ou Haus (Haus dans le cas d'une classe restreinte d'objets)) peut s'exprimer comme le quotient du logarithme du rapport de similarite et du logarithme du rapport d'homothetie. Chouette! En faisant le meme magical tour avec la courbe de von Koch - comme vu dans mon precedent post -, on obtient une dimension non-entiere differente de la dimension topologique. Si tu exhibais par exemple un objet dont tu peux doubler la taille (donc h = 2) en lui associant trois exemplaires originels (donc s = 3), ton objet aurait alors:

Image

... ton objet serait un bidule intermediaire entre une courbe et une surface. C'est p'ete plus clair maintenant.

Anecdote: y'a a peu pres une centaine d'annees, en se tatant mutuellement les burnes a propos de la notion de derivabilite, les matheux - dont Cantor, Borel, Peano, Liapounov, Hausdorff, Julia, Sierpiński, Fatou, Weierstrass, von Koch, etc. - avaient construit des tas de contre-exemples aux processus habituels inherents audit calcul infinitesimal (par exemple des courbes continues mais ne possedant de tangentes en aucun point, des surfaces degueulassement irregulieres, etc.). Cela mena a devoir reconsiderer l'idee de dimension. On associa par la suite une dimension dimHaus dite de Hausdorff (ou de Hausdorff-Besicovitch... ) a ces objets "bizarres". Jusqu'a il n'y a pas tres longtemps, ces bidules etaient meme consideres comme des "cas pathologiques", mais on s'est vite apercu qu'en realite ils representaient (en gros) une majorite ecrasante d'objets disons geometriques et que, in fine, les "authentiques cas pathologiques" etaient (toujours en gros) ceux que l'on avait considere comme "normaux" jusqu'alors. Pour depasser ces difficultes - surtout conceptuelles -, il fallut approfondir la notion de dimension et la generaliser pour pouvoir capturer ce qui semblait etre un amas d'incongruites. D'ou l'introduction de dimHaus, extension de dimTop. dimHaus est a peu pres definie ainsi (version simplifiee mais coherente): on couvre l'objet par des boules de diametre δ inferieur a ε, et on considere la limite, quand ε tend vers 0, de la valeur minimale de la somme des δᵝ; la dimension est alors la valeur de β pour laquelle cette limite saute de 0 a l'ꝏ. Si l'objet est "lisse" - cad regulier -, dimHaus est identique a la dimension topologique dimTop, mais cela n'est pas vrai en general, comme on l'a vu dans notre exemple (courbe de von Koch). Plus tard, Mandelbrot proposa de definir une fractale F comme un objet dont dimHaus > dimTop (> est une inegalite stricte) et de definir la "dimension fractale" dimFrac(F) a partir du nombre minimal m(ε) de boules de rayon ε couvrant F, cad:

Image

Don't worry: malgre des apparences peut-etre trompeuses, ce resulta est equivalent a ce qu'on a vu precedemment. Pourquoi est-ce que je complique les choses en introduisant dimFrac alors que j'avais parle de dimHaus? Je complique rien, poils aux mains. C'est le zoo mathematique qui est aussi vaste et touffu que diversifie. J'y peux rien. Toi non plus. En effet, le diable se cahe toujours dans les details: en general, dimHaus = dimFrac, mais il arrive que dimFrac > dimHaus. Ben ouais. Pas dans les exemples qu'on a vu (classe restreinte d'objets), fort heureusement d'ailleurs sinon il aurait fallu pondre un roman pour expliquer le pourquoi du comment, mais cela peut arriver, poils aux pieds.

Voila.

Si t'as d'autres questions - pas trop j'espere :wink: -, vaut p'tet mieux passer en mode MP.

Citation:
Question subsidiaire : comment as-tu fait pour écrire tes formules ? :D

Le comment depend du pourquoi. Y s'agit de TeX/LaTeX compile et converti en images (parfois) immergees dans du html. Si t'es a peu pres sous n'importe quelle distro Linux, t'as en general deja tout ce qu'il te faut sous la main (si ce n'est pas le cas, tu peux installer en deux temps et trois mouvements le ou les logiciels dedies de ton choix). Si t'es sous Windows, tu peux par exemple installer l'editeur WinEdt ou TeXnicCenter et le compilateur MikTex. Si t'as du temps a perdre, tu developpes ton propre logiciel. :wink: Mais si tu veux juste faire mumuse et generer des images a coller sur un forum comme celui-ci - forum phpBB ou LaTeX n'a pas ete integre -, tu peux utiliser pepere des logiciels en ligne, comme par exemple Latex Equation Editor (+) ou TeXify. Faut juste que t'apprennes un minimu de syntaxe (+, &) Tex/LaTeX. C'est vraiment pas la mer a boire, don't worry, d'autant plus que certains logiciels t'accompagnent dans la redaction en te proposant des morceaux de code a adapter. Par exemple, avec Latex Equation Editor (@), ceci:

Code:
\sum_{i=1}^{n}couillon_{i}=forum_{rationalisme.org}

donne:

Image

(tu copies/colles le code, ou tu telecharges l'image *.png, tu la balances sur ImageShack, et tu copies/colles le truc obtenu dans ton post en le taggant avec img). Si tu dois inserer ta formule dans une page html - au hasard: celle de ton site ou tu exposes ta theorie revolutionnaire de l'ether gravitationnel tachyonique - qui n'est pas une page de forum phpBB comme celle-ci, tu copies le code html qui t'est propose.

Ou encore, avec TeXify, ceci:

Code:
\matrix{H^2(\Omega) & \longrightarrow & H^{3/2}(\Gamma) \cr & & \cr \downarrow & & \downarrow \cr & & \cr H^1(\Omega) & \longrightarrow & H^{1/2}(\Gamma) \cr}

donne:

Image

en copiant le code fourni par l'application en ligne, cad:

Code:
[img]http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%5Cmatrix%7BH%5E2%28%5COmega%29%20%26%20%5Clongrightarrow%20%26%20H%5E%7B3/2%7D%28%5CGamma%29%20%5Ccr
%20%26%20%26%20%5Ccr%20%5Cdownarrow%20%26%20%26%20%5Cdownarrow%20%5Ccr%20%26%20%26%20%5Ccr%20H%5E1%28%5COmega%29%20%26%20%5Clongrightarrow%20%26%20
H%5E%7B1/2%7D%28%5CGamma%29%20%5Ccr%7D.gif[/img]
(j'ai casse la ligne de code en trois morceaux pour ne pas dilater exagerement le cadre de la page de ce forum)

ou en pompant le *.gif et en passant par ImageShack.

Facile, non? Y'a evidemment beaucoup d'autres facons d'arriver au meme resultat et chacune d'entre elles depend du besoin, du support et de l'agilite de tes petits doigts boudines.

George Clownet a écrit:
Quand je pense que Pyne Duythr est garçon coiffeur à mi-temps ! Il bosse le soir comme un fou les mathématiques pour devenir esthéticien à temps plein. Vraiment du courage ce gars.

J'suis garcon boucher troisieme dan, pas garcon coiffeur, mossieur! Et le soir j'bosse pas les maths: je desanusse du porc (majeur, vaccine, riche et friand de coups de cravaches et d'epilements a sec de scrotum a la cire brulante). Quant aux maths, ben c'est tres simple mon garcon: j'y pige au bas mot strictement que pouic. Je pompe tout sur le net et je colle ici. C'est tout. Et j'en ai pas honte. Au fait, petite salope, tu fais quoi ce soir?


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 14 Oct 2010, 22:12 
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Je te fais réviser tes maths avec une cravache comme d'hab grande folle, pourquoi tu demandes ? Tu veux aussi que je te brûle les couilles au chalumeau pendant que je t'enseigne les fractales annales à grands coups de pistons sur dimensionnés ? Et comme je suis là à m'adresser à toi, que je suis fainéant, j'en profite pour te signaler que je ne t'ai pas mélangé avec zetobserver, moi aussi je sais lire hé débiloff, et j'ai une pile spéciale pour les torchons, crétin des alpes.

Je reviendrais lire tes posts abscons plus tard, j'ai relevé trois quatre erreurs de raisonnement assez gênantes., surtout dans ta démonstration à n dimensions et sur le rapport des surfaces selon la dilatation appliquée à un côté. Faut pas oublier, que l'espace est rarement précisé dans ce genre de réponse alors qu'il est primordial de situer le niveau de sa réflexion en fonction de l'espace géométrique retenu. Mais bref, on en reparle plus tard. Et puis simplement en posant Zn+1 = Zn2 + C on trouve une réponse claire à la question simple.

Penses à prendre du sopalin, la dernière fois t'as pourri la moquette avec ton fion...


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 17 Oct 2010, 05:23 
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L'auteur de la théorie du chaos Benoit Mandelbrot vient de décéder!

C'est le gars à qui on doit ces si jolies fractales (dont je comprend certes que dâle!).


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 18 Oct 2010, 06:37 
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Citation:
L'auteur de la théorie du chaos Benoit Mandelbrot vient de décéder!


Ca a pas fait grand bruit.
L'aurait mieux fait de presser des citrons sur le banc de l'équipe de France. On en aurait parlé à TF1...
Citation:
C'est le gars à qui on doit ces si jolies fractales (dont je comprend certes que dâle!).v


Mouais... On est (au moins) deux !
Ca m'a fait penser à la boutade de Charlie Chaplin à Einstein : Ils vous applaudissent parce qu'il ne vous comprennent pas...
Sinon, en effet, splendide. J'aime bien me paumer dans ces infinis bizarres.
Et :
Clap clap clap clap ! :beer: :chaise:

Je content d'être con des fois : Ca doit être terriblement dangereux ces trucs pleins de chiffres et de signes étranges ?! :cut:

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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 18 Oct 2010, 14:09 
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Marcel a écrit:
J'aime bien me paumer dans ces infinis bizarres.

Au fait (je ne sais pas comment tourner ça pour me faire comprendre, donc ça risque d'être bordélique, avec des énormités, m'enfin...) :

Dans les fractales, il me semble, on peut zoomer et dézoomer à l'infini sans "en sortir"...
Dans les mandelbulbes, il y a une limite, on peut "en sortir" en dézoomant, regarder sa surface extérieure, non ?
Si il y a limite(dans les mandelbulbes), pourquoi ? Est-ce voulu pour le côté esthétique ?

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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 20 Oct 2010, 05:55 
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Inscription: 03 Oct 2010, 06:03
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Merde ?
J'espère que tout le monde n'est pas à attendre que je donne une réponse à Raoul Map'Oul ? ? ?

En fait ça m'a instillé une autre question . Un semblant de réponse p.e :
Ces transformations qu'on applique à un segment (par ex) « vers l'intérieur » On peut imaginer les appliquer « vers l'extérieur » ? Non ?

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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 22 Oct 2010, 18:28 
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Inscription: 29 Sep 2005, 07:15
Messages: 1838
Marcel a écrit:
J'aime bien me paumer dans ces infinis bizarres.

Ici, ce ne sont pas les "infinis" qui sont bizarres, meme s'il y en a plusieurs en jeu et que les zooms en cascade donnent le vertige. C'est, d'une certaine maniere, tout le reste, ou presque. Arf!

Raoul Map'Oul a écrit:
Au fait (je ne sais pas comment tourner ça pour me faire comprendre, donc ça risque d'être bordélique, avec des énormités, m'enfin...) :

Je crois avoir pige ce que tu veux dire. Je te paraphrase: "je m'etonne du fait que l'on puisse zoomer et dezoomer a l'infini sur un bidule comme par exemple l'ensemble de Mandelbrot sans "en sortir", alors que dans le cas du Mandelbulb/Mandelbox il y a une limite au dezoomage parce que je peux voir l'objet "dans son entier" depuis l'exterieur". C'est ca? Si c'est oui, alors c'est non. :D

Citation:
Dans les fractales, il me semble, on peut zoomer et dézoomer à l'infini sans "en sortir"...
Dans les mandelbulbes, il y a une limite, on peut "en sortir" en dézoomant, regarder sa surface extérieure, non ?

Oui, tu peux regarder le Mandelbulb/Mandelbox de l'"exterieur" et voir sa "surface". Mais c'est egalement ainsi pour la plupart des autres objets fractals (je dis la "plupart" parce que tous les objets fractals ne partagent pas systematiquement les memes proprietes et ne sont pas construits selon les memes schemas, ni meme dans le meme environnement): de l'"exterieur" - c'est inexact, mais c'est une bonne approximation de ce qui se passe -, tu peux voir son bord. En outre, quand tu dezoomes a l'infini, a partir d'une certaine "echelle", tu ne retrouves plus par exemple les effets d'autosimilarite. Ce sont des choses qui deviennent tres claires lorsque tu te penches sur la definition d'un objet fractal F - donc sur la facon de le construire mathematiquement - et sur la facon de l'exhiber graphiquement (seulement en partie, toute petite partie) a travers des programmes. Sans entrer dans les details, on va voir ca avec un exemple: l'ensemble M de Mandelbrot (M est ce qu'on appelle un systeme dynamique complexe). Comment est-il defini? M est l'ensemble des nombres complexes c pour lesquels la suite (recurrente):

Image

est bornee, cad ne tend pas vers l'infini. M est donc defini a partir d'une famille de polynomes quadratiques complexes (c'est une donnee tres importante qu'on ne verra pas ici: je la cite en tant que mot-clef si tu veux approfondir la chose):

Image

de la forme:

Image

ou c est un nombre (parametre) complexe. Pour tout c, on considere alors la suite s_c:

Image

que l'on obtient en iterant m_c(z) a partir du point z = 0. s_c peut soit diverger (= tendre vers l'infini), soit etre bornee (= confinee dans un disque de rayon fini). M est "tout simplement" (c'est loin de l'etre) l'ensemble des c tels que la suite correspondante s_c est bornee. Bref, M est un ensemble de nombres complexes, cad un sous-ensemble du plan complexe. Mieux, on peut montrer que M est contenu dans un disque ferme de rayon 2 autour de l'origine. Puisque M est un sous-ensemble du plan complexe, banalement, tout nombre complexe c soit appartient a M, soit il ne lui appartient pas (il ne lui appartient pas des que le module de z_n > 2: alors la s_c diverge vers l'infini). Si tu "noircis" tous les c qui appartiennent a M, et si tu blanchis les autres, tu obtiens alors la fameuse image de l'ensemble de Mandelbrot:

Image

Ceci est le seul portrait officiel de M. En effet, les versions colorisees de l'ensemble de Mandelbrot, comme celle-ci:

Image

sont generees en colorant les points exterieurs a M en fonction de la "vitesse" a laquelle la suite correspondante diverge (a l'infini). Mais dis-toi bien que les points colores n'appartiennent pas a M. M, c'est "seulement" la tache noire. Bref. L'autosimilarite n'est ici presente que sur le bord de M et c'est egalement sur ce bord qu'apparaissent d'autres motifs tres interessants dont on ne dira mot ici:

Image

tout comme mille autres trucs fascinants et, parfois, encore conjecturels. L'autosimilarite dans M n'est donc pas "totale". Tout ce blabla - en partie excessif ici, mais utile si l'on veut reellement piger ce qu'il se passe - pour en arriver a:

Citation:
Si il y a limite (dans les mandelbulbes), pourquoi ? Est-ce voulu pour le côté esthétique ?

Il n'y a pas plus de limite au dezoomage ici que lorsque tu explores M. Revenons a M. Visuellement parlant, tu n'es a l'"interieur" de M que lorsque tu te places dans le noir le plus total ou dans un voisinage (et seulement du bon "cote" de ce voisinage) du bord de M. En realite, quand tu regardes M, t'es "au-dessus" du plan complexe qui le contient. C'est ce qui te permet d'ailleurs de le "voir" - c'est pareil pour n'importe quelle photo, meme celle de Sarkozy que t'as affichee au-dessus de tes chiottes, ou n'importe quel manga cochon que tu collectionnes -, sinon tu serais comme un flatlandien qui "verrait" M comme une ligne (ton horizon) noire, pigmentees noir/blanc ou blanche en fonction de ta position dans le plan (tu peux imaginer ce que tu verrais en sectionnant orthogonalement le plan complexe avec un cylindre: le cercle section est ton horizon). Ensuite, dans le plan complexe, M est confine dans un disque de rayon 2 autour de l'origine. Si tu dezoomes suffisamment, visuellement M finira par devenir de plus en plus petit jusqu'a ressembler a un point noir perdu dans du blanc qui finira ensuite par disparaitre dans le blanc. C'est comme si tu t'eloignais de la Terre a une vitesse tres elevee. Bref. Par exemple, en dezoomant (= a reculons) a l'infini, tu obtiens les images suivantes:

Image

Image

Image

Image

Image

PFFFFUUIIIITTTT! BYE BYE BABY!

Rien de tres enthousiasmant. C'est en zoomant que tu "extrais" de l'information. Surtout lorsque tu le fais au voisinage du bord de M. Par exemple:

Image

Avec le Mandelbulb/Mandelbox, appelons-les B, c'est plus ou moins kif kif. A un detail pres (plus d'un, mais c'est celui qui nous interesse ici): B est immerge dans l'espace (en gros, parce que ce n'est pas completement vrai comme je l'avais brievement explique dans un precedent post). Et puisque B est confine dans une bulle finie de l'"espace" (M etait confine dans un disque fini), tu peux l'explorer en observant sa "surface", en le traversant, en zoomant sur des details "internes", etc.. Tout comme avec M, si tu dezoomes suffisamment, B disparaitra. Le "cote esthetique" est donc inherent a B, meme si l'esthetique depend fortement du cout en calculs - donc de l'efficacite des algorithmes mis en jeu ainsi que des ressources en temps, memoire et vitesse de traitement -, et de la plus ou moins bonne extension de la notion de produit (en work in progress intensif).

Ais-je repondu a tes questions de facon satisfaisante? Si oui, j'en suis heureux. Si non, j'veux bien essayer encore - why not avec des images, des metaphores, des analogies et une turlute en prime -, mais pas dans l'immediat, poils au bras. J'suis a la bourre ces temps-ci: beaucoup de viande porcine a debiter, quelques desanussages artistiques a fignoler, et des delais de livraison serres a respecter.

Image
(by Krzysztof Marczak)

Marcel a écrit:
Ca doit être terriblement dangereux ces trucs pleins de chiffres et de signes étranges ?! :cut:

Moins qu'un fist fucking a sec, je pense.

Image

Citation:
Ces transformations qu'on applique à un segment (par ex) « vers l'intérieur » On peut imaginer les appliquer « vers l'extérieur » ? Non ?

Tout est bon dans l'cochon! Tu peux faire tout ce que tu veux, pourvu que ca tienne la route. Et pourvu que tu badigeonnes ton poing avec de la vaseline, de l'huile d'olive ou du beurre avant equarrissage.


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 22 Oct 2010, 19:23 
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Inscription: 12 Juil 2008, 20:44
Messages: 1922
Pyne Duythr a écrit:
Je crois avoir pige ce que tu veux dire. Je te paraphrase: "je m'etonne du fait que l'on puisse zoomer et dezoomer a l'infini sur un bidule comme par exemple l'ensemble de Mandelbrot sans "en sortir", alors que dans le cas du Mandelbulb/Mandelbox il y a une limite au dezoomage parce que je peux voir l'objet "dans son entier" depuis l'exterieur". C'est ca?

Oui, c'est ça!
Pyne Duythr a écrit:
Ais-je repondu a tes questions de facon satisfaisante?

Image

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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 22 Oct 2010, 23:55 
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Inscription: 26 Jan 2005, 22:50
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Encore faut-il être en accord sur le périmètre des nombres complexes ai-je envie de dire. Si tu avais été plus prudent dans ton explication tu aurais vu que tu commettais une petite erreur d'appréciation cher Pyne Duythr ! Lorsque tu affirmes que le dézoomage est :

2+2=5 a écrit:
Rien de tres enthousiasmant. C'est en zoomant que tu "extrais" de l'information. Surtout lorsque tu le fais au voisinage du bord de M.


Tu donnes dans le hautement comique (enfin humour matheux hein, aussi tordant qu'une suite non concave en milieu ouvert). Il manque à cette énoncé l'interférence du paramètre temps couplé aux bornes spatiales du plan. C'est idiot ta phrase sans cette précision car, bornée, la suite récurrente se reproduit sans limite, sans tendre vers l'infini, et ce dans toutes les directions, sur tous les plans, et dans toutes les dimensions, même si l'échelle peut sembler contredire cette perception. Le calcul lui démontre que ce n'est pas le cas, sauf pour C plus ou moins Zéro (et encore pas dans un milieu dit de KOVALEWSKI où même pour C = 0, la suite s'auto réplique, ce qui disons le en passant est le graal qui permettrait de passer de l'inerte à l'animé, si on pouvait l'étendre à d'autres dimensions... mais c'est un autre sujet) . L'information s'extrait donc dans toutes les directions, simplement elle est comme dans toute suite, marquée par un intervalle vide, qui est l'espace séparant chaque nombre, et que certaines dimensions comme le réel peuvent laisser penser que le vide fait "PFUIIIITTTT" à la mode Pyne Duythr, mais ce n'est qu'une illusion temporelle créé par le manque de précision initial. En un mot, présenté comme tu l'as fait, un dézoomage ne fait pas "pffuuuit bye bye baby" mais "OHHHHH ça recommence, qu'est ce que c'est beau pépé", si et seulement si tu vis assez longtemps pour reboucler toriquement hé patate.

Sois précis et consciencieux Pyne Duythr, ça t'évitera de dire des choses fausses et d'induire en erreur tes petits camarades.

Car n'oublions jamais mes frères X et Y et même toi Z, les mathématiques sont le langage des poètes qui tordent la géométrie avec l'algèbre en saupoudrant d'infini les dimensions limitées sans borne, oui tout est folie au monde des nombres !

Le Prof Défracté.


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 Sujet du message: Re: Mandelbulbe
MessagePosté: 23 Oct 2010, 14:25 
Glorbs
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Inscription: 03 Oct 2010, 06:03
Messages: 778
Citation:
Georges clowné :
.../...et d'induire en erreur tes petits camarades.


Induire ? Oh... Il m'a semblé qu'il parlait d'introduire ? !
Pas d'erreur...
Ou le sens profond m'a échappé ?

Sinon merci pour ton auguste démo.

Et merci à Bhythe dhourss grâce qui j'ai pu planter quelques piquets dans cette friche qui était la mienne !

Citation:
Car n'oublions jamais mes frères X et Y et même toi Z, les mathématiques sont le langage des poètes qui tordent la géométrie avec l'algèbre en saupoudrant d'infini les dimensions limitées sans borne, oui tout est folie au monde des nombres !


J'imprime en 3 exemplaires.
Dont un pour mon notaire qui perd un peu le sens des valeurs.

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Paul Valéry


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