Gaston a écrit:
Je suppose qu[e [l]es histoires de métrique, de recouvrement, de topologie et de compacité exposées succintement dans ton introduction] ne sont pas nécessaires à ce niveau de la discussion, sinon tu les aurais sans aucun doute un tant soit peu développées.
Vi. C'etait en quelque sorte une liste de mots-clef pour un eventuel approfondissment par tripotage googlien (
SSL), au cas ou ta curiosite se revelait etre insatiable. L'idee de base est celle sous-jacente a ton observation: "
il y a plus d'une notion de dimension [parce que] la dimension topologique à laquelle je m'accrochais n'est plus suffisante lorsqu'il s'agit de décrire une fractale". En effet, la dimension topologique de la courbe
K de von Koch est 1. En d'autres termes:
K est topologiquement equivalente a une courbe. Cela signifie que, du point de vue topologique - point de vue ou l'on ne s'interesse qu'a l'aspect "voisinage", qui est la propriete topologique par excellence -,
K et p.e. un segment de droite sont indistincts. "Topologiquement equivalent" signifie - tres informellement - que tu peux passer du premier objet au deuxieme de facon continue et sans dechirures (cf. notion d'homeomorphisme). Et vice et versa reciproquement. Si maintenant tu t'interesses en gros a l'aspect metrique - cad a la notion de mesure, de distance - et si ton objet est "lisse", alors dimTop = dimHaus. C'etait l'exemple du carre
C. Mais si ton objet est p.e. une fractale, alors les notions de dimTop et de dimHaus deviennent en quelque sorte autonomes (la deuxieme generalisant la premiere) et, en general, dimTop ≠ dimHaus (dimHaus pouvant ne pas etre entiere). C'etait l'exemple de la courbe de von Koch,
K.
Citation:
Que signifie faire la racine dimTop(C)-ième de n afin d'évaluer s le long d'une dimension ?
Faut pas chercher midi a quatorze heures, Gaston.
C'est juste une autre maniere de parler de la fonction de "remplissage" qu'on a utilisee. Je m'apercois a present que j'ai sans doute ecrit un peu trop vite mon precedent post. Ce qui explique, je suppose, la presence de ta question. Pour rendre les choses peut-etre plus claires, j'aurais en effet du scinder l'idee de rapport en introduisant egalement l'idee de rapport d'homothetie puis appeler
s ainsi, et ensuite appeler rapport de similitude le nombre
n. C'eut ete peut-etre plus parlant dans l'association de l'intuition "visuelle" et du langage, donc plus immediat. Pas grave. Ca ne change rien a la substance de mes propos. On aurait de toute facon pu appeler respectivement "chevre" et "caillou" ces deux rapports, voire en omettre un par souci de concision (vu la taille du post, mon cul!) comme je l'avais fait, que ca n'aurait change que pouic. T'as tres bien compris le principe, Gaston. Et c'est l'essentiel. Cependant, dorenavant, on va utiliser la nouvelle terminologie afin de gagner en clarte: ce qu'on avait appele rapport de similitude
s devient le rapport d'homothetie
h, et ce qu'on n'avait pas appele (arf!) - mais qu'on avait ecrit
n - sera le rapport de similitude
s. Bref. Revenons a notre mouton fractal, donc a ta question.
Si tu etends un segment de droite en collant a une de ses extremites un segment de meme taille, tu obtiens un segment de droite de longueur double. Donc, pour obtenir un segment de longueur double d'un segment donne, t'as besoin de 2¹ segments originels. Si a partir d'un carre tu veux obtenir un carre deux fois plus grand, tu dois disposer de quattre carres identiques au carre originel, cad de 2² carres. Si tu veux faire la meme chose avec un cube, t'as besoin de huit copies du cube originel, cad de 2³ cubes. En resume, ici: i) le 2 est le facteur d'homothetie
h, cad le facteur de dilatation de ton objet, ii) l'exposant du 2 (1 pour un segment, 2 pour le carre et 3 pour le cube) est la dimension de ton objet, cad dimTop et iii) lorsque tu construis l'objet "augmente", tu dois le faire "le long de ses dimensions" (1 pour un segment, 2 pour le carre et 3 pour le cube), tu dois en quelque sorte dilater dans toutes ses dimensions ou, dit d'une autre facon, tu dois accoller les copies - le nombre de copies est
s - de l'objet originel dans toutes les dimensions qui le caracterisent afin d'obtenir l'objet "augmente". Le point iii) cristallise l'idee de "evaluer le long d'une dimension". C'est mal dit, j'en conviens, mais le coeur y est. En resumant le resume: pour doubler les objets segment, carre et cube, tu as besoin respectivement de 2¹ segments que tu colles le long d'une dimension, 2² carres dont deux seront colles le long de la premiere dimension et deux le long de la deuxieme dimension et 2³ cubes colles le long des trois dimensions. Bref. A present, on generalise un peu le processus pour en extraire la substantifique moelle: pour doubler un des trois objets a peine cites, t'as besoin de 2^d exemplaires de cet objet, ou d est la dimension de l'objet. Y'a beaucoup de redondances dans ce que je viens de t'ecrire, c'est evident, et je te prie de ne pas m'en tenir rigueur, mais c'est pour bien mettre en evidence l'idee fixe du savant CosinusHyperbolique. Arf! Revenons a ton ton carre
C. On suppose que son cote est egal a 1. On va lui appliquer le processus que l'on vient de voir (et que l'on avait vu dans mon precedent post). On quadrille
C avec k² petits carres
c de cote egal a 1/
k (comme on l'a vu,
s =
k², ou
s = {nombre de petits carres
c}). Alors, en te souvenant qu'on appelle a present rapport d'homothetie le nombre
h et rapport de similitude le nombre
s, on peut ecrire:
Le rapport de similitude
s est egal a
k² (
s mesure le nombre d'objets similaires a
C - les petits carres
c - remplissant
C) et le facteur d'homothetie
h est
k (
k mesure la dilatation qu'il faudrait appliquer a un
c, donc au cote de
c, pour obtenir
C). En se souvenant que dimTop(
C) = 2:
ce qu'on avait deja vu et qui est somme toute banal. Tres banal. Mais cela nous sert a voir plus grand, poils aux dents. En effet, si au lieu d'un carre on avait pris un cube, on aurait alors sans se fatiguer:
Banal aussi. Et pour un d-cube, cad un hypercube (euclidien) de dimension d:
cad, plus ou moins comme on l'avait deja vu:
ce qui veut dire que la
dimension (Top et/ou Haus (Haus dans le cas d'une classe restreinte d'objets)) peut s'exprimer comme le
quotient du logarithme du rapport de similarite et du logarithme du rapport d'homothetie. Chouette! En faisant le meme magical tour avec la courbe de von Koch - comme vu dans mon precedent post -, on obtient une dimension non-entiere differente de la dimension topologique. Si tu exhibais par exemple un objet dont tu peux doubler la taille (donc
h = 2) en lui associant trois exemplaires originels (donc
s = 3), ton objet aurait alors:
... ton objet serait un bidule intermediaire entre une courbe et une surface. C'est p'ete plus clair maintenant.
Anecdote: y'a a peu pres une centaine d'annees, en se tatant mutuellement les burnes a propos de la notion de derivabilite, les matheux - dont Cantor, Borel, Peano, Liapounov, Hausdorff, Julia, Sierpiński, Fatou, Weierstrass, von Koch, etc. - avaient construit des tas de contre-exemples aux processus habituels inherents audit calcul infinitesimal (par exemple des courbes continues mais ne possedant de tangentes en aucun point, des surfaces degueulassement irregulieres, etc.). Cela mena a devoir reconsiderer l'idee de dimension. On associa par la suite une dimension dimHaus dite de Hausdorff (ou de Hausdorff-Besicovitch... ) a ces objets "bizarres". Jusqu'a il n'y a pas tres longtemps, ces bidules etaient meme consideres comme des "cas pathologiques", mais on s'est vite apercu qu'en realite ils representaient (en gros) une majorite ecrasante d'objets disons geometriques et que, in fine, les "authentiques cas pathologiques" etaient (toujours en gros) ceux que l'on avait considere comme "normaux" jusqu'alors. Pour depasser ces difficultes - surtout conceptuelles -, il fallut approfondir la notion de dimension et la generaliser pour pouvoir capturer ce qui semblait etre un amas d'incongruites. D'ou l'introduction de dimHaus, extension de dimTop. dimHaus est a peu pres definie ainsi (version simplifiee mais coherente): on couvre l'objet par des boules de diametre δ inferieur a ε, et on considere la limite, quand ε tend vers 0, de la valeur minimale de la somme des δᵝ; la dimension est alors la valeur de β pour laquelle cette limite saute de 0 a l'ꝏ. Si l'objet est "lisse" - cad regulier -, dimHaus est identique a la dimension topologique dimTop, mais cela n'est pas vrai en general, comme on l'a vu dans notre exemple (courbe de von Koch). Plus tard, Mandelbrot proposa de definir une fractale F comme un objet dont dimHaus > dimTop (> est une inegalite stricte) et de definir la "dimension fractale" dimFrac(F) a partir du nombre minimal m(ε) de boules de rayon ε couvrant F, cad:
Don't worry: malgre des apparences peut-etre trompeuses, ce resulta est equivalent a ce qu'on a vu precedemment. Pourquoi est-ce que je complique les choses en introduisant dimFrac alors que j'avais parle de dimHaus? Je complique rien, poils aux mains. C'est le zoo mathematique qui est aussi vaste et touffu que diversifie. J'y peux rien. Toi non plus. En effet, le diable se cahe toujours dans les details: en general, dimHaus = dimFrac, mais il arrive que dimFrac > dimHaus. Ben ouais. Pas dans les exemples qu'on a vu (classe restreinte d'objets), fort heureusement d'ailleurs sinon il aurait fallu pondre un roman pour expliquer le pourquoi du comment, mais cela peut arriver, poils aux pieds.
Voila.
Si t'as d'autres questions - pas trop j'espere
-, vaut p'tet mieux passer en mode MP.
Citation:
Question subsidiaire : comment as-tu fait pour écrire tes formules ?
Le comment depend du pourquoi. Y s'agit de
TeX/
LaTeX compile et converti en images (parfois) immergees dans du html. Si t'es a peu pres sous n'importe quelle distro Linux, t'as en general deja tout ce qu'il te faut sous la main (si ce n'est pas le cas, tu peux installer en deux temps et trois mouvements le ou les logiciels dedies de ton choix). Si t'es sous Windows, tu peux par exemple installer l'editeur
WinEdt ou
TeXnicCenter et le compilateur
MikTex. Si t'as du temps a perdre, tu developpes ton propre logiciel.
Mais si tu veux juste faire mumuse et generer des images a coller sur un forum comme celui-ci - forum phpBB ou LaTeX n'a pas ete integre -, tu peux utiliser pepere des logiciels en ligne, comme par exemple
Latex Equation Editor (
+) ou
TeXify. Faut juste que t'apprennes un minimu de
syntaxe (
+,
&) Tex/LaTeX. C'est vraiment pas la mer a boire, don't worry, d'autant plus que certains logiciels t'accompagnent dans la redaction en te proposant des morceaux de code a adapter. Par exemple, avec Latex Equation Editor (
@), ceci:
Code:
\sum_{i=1}^{n}couillon_{i}=forum_{rationalisme.org}
donne:
(tu copies/colles le code, ou tu telecharges l'image *.png, tu la balances sur
ImageShack, et tu copies/colles le truc obtenu dans ton post en le taggant avec
img). Si tu dois inserer ta formule dans une page html - au hasard: celle de ton site ou tu exposes ta theorie revolutionnaire de l'ether gravitationnel tachyonique - qui n'est pas une page de forum phpBB comme celle-ci, tu copies le code html qui t'est propose.
Ou encore, avec TeXify, ceci:
Code:
\matrix{H^2(\Omega) & \longrightarrow & H^{3/2}(\Gamma) \cr & & \cr \downarrow & & \downarrow \cr & & \cr H^1(\Omega) & \longrightarrow & H^{1/2}(\Gamma) \cr}
donne:
en copiant le code fourni par l'application en ligne, cad:
Code:
[img]http://www.texify.com/img/%5CLARGE%5C%21%5Cmatrix%7BH%5E2%28%5COmega%29%20%26%20%5Clongrightarrow%20%26%20H%5E%7B3/2%7D%28%5CGamma%29%20%5Ccr
%20%26%20%26%20%5Ccr%20%5Cdownarrow%20%26%20%26%20%5Cdownarrow%20%5Ccr%20%26%20%26%20%5Ccr%20H%5E1%28%5COmega%29%20%26%20%5Clongrightarrow%20%26%20
H%5E%7B1/2%7D%28%5CGamma%29%20%5Ccr%7D.gif[/img]
(j'ai casse la ligne de code en trois morceaux pour ne pas dilater exagerement le cadre de la page de ce forum)ou en pompant le *.gif et en passant par ImageShack.
Facile, non? Y'a evidemment beaucoup d'autres facons d'arriver au meme resultat et chacune d'entre elles depend du besoin, du support et de l'agilite de tes petits doigts boudines.
George Clownet a écrit:
Quand je pense que Pyne Duythr est garçon coiffeur à mi-temps ! Il bosse le soir comme un fou les mathématiques pour devenir esthéticien à temps plein. Vraiment du courage ce gars.
J'suis garcon boucher troisieme dan, pas garcon coiffeur, mossieur! Et le soir j'bosse pas les maths: je desanusse du porc (majeur, vaccine, riche et friand de coups de cravaches et d'epilements a sec de scrotum a la cire brulante). Quant aux maths, ben c'est tres simple mon garcon: j'y pige au bas mot strictement que pouic. Je pompe tout sur le net et je colle ici. C'est tout. Et j'en ai pas honte. Au fait, petite salope, tu fais quoi ce soir?